Se estudian algunas propiedades teóricas y dinámicas de los operadores de desplazamiento hacia adelante y hacia atrás en el espacio de Lipschitz de un árbol infinito; particularmente estudiaremos condiciones para que dichos operadores sean acotados, se darán estimaciones para la norma y se calcula esta de forma explícita para una cierta familia de árboles; además, se estudian el espectro, espectro puntual y espectro puntual aproximado de los operadores de desplazamiento. Por otra parte, se demuestran condiciones que caracterizan cuándo el operador de desplazamiento hacia atrás es acotado. También se exhibe una condición que caracteriza la hiperciclicidad del operador de desplazamiento hacia atrás definido en el espacio pequeño de Lipschitz. Finalmente, se estudian condiciones para que el operador de desplazamiento hacia atrás con pesos sea hipercíclico en el espacio pequeño de Lipschitz y su relación con las condiciones obtenidas para el caso sin pesos.