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http://dgsa.uaeh.edu.mx:8080/handle/231104/4426| Título : | Tipo de homotopía de complejos simpliciales de completas de una gráfica. |
| Otros títulos : | Matemáticas. |
| Autor : | Islas Gómez, Mauricio |
| Palabras clave : | Homotopía Clan Complejo Simplicial Gráficas Matemáticas. |
| Fecha de publicación : | 4-jul-2023 |
| Editorial : | ICBI-BD-UAEH |
| Descripción : | En este trabajo de tesis, comenzamos estudiando algunos de los conceptos de teoría de gráficas, y de cómo asociarle un espacio topológico a cada gráfica. Específicamente abordamos solo las denominadas gráficas simples y le asociamos un espacio topológico a través del complejo simplicial de completas de dicha gráfica. Es de esta forma que asociamos conceptos topológicos a objetos combinatorios. El problema que más nos interesa es de el de averiguar el tipo de homotopía que tienen las gráficas simples de grado máximo acotado. Es decir, quisiéramos saber si el espacio topológico asociado a una gráfica es homotópico a un espacio topológico conocido (una cuña de esferas, un toro, una cuña de circunferencias, el plano proyectivo, etcétera). También estamos interesados en otras cuestiones como el comportamiento de una gráfica y el tipo de homotopía bajo un cierto operador que conocemos como el operador de clanes. Si G es una gráfica denotamos a su gráfica de clanes como K(G), donde K(G) es la gráfica de intersección de las subgráficas completas maximales de G. Luego, K es conocido como el operador de clanes, y podemos iterarlo, para un número natural n mayor que 1 definimos de manera recursiva K^n(G)=K(K^{n-1}(G)), donde K^{0}(G)=G. Por ejemplo, un problema de interés es averiguar si una gráfica G es K-homotópicamente permanente, es decir, si G es homotópica a K^m(G) para todo número natural m. Otro ejemplo de un problema de interés es el de determinar si una gráfica G es K-convergente, es decir, si existen número naturales m y n con m<n, tal que K^m(G) y K^n(G) son homotópicas, en otras palabras, si la órbita de G bajo K contiene un número finito de gráficas salvo isomorfismo. En el capítulo 1, se presentan los principales conceptos y definiciones de teoría de gráficas que se van a usar para el desarrollo de este trabajo. Así como también se presenta la definición de que una gráfica tenga la propiedad de ser clan-Helly. Luego, en el capítulo 2 se explica la forma de asociarle un espacio topológico a un complejo simplicial y como es que se le asocia un espacio topológico a una gráfica a través del complejo simplicial de completas. También se presenta la relación de homotopía entre dos gráficas. Una vez estudiado el concepto de homotopía en gráficas, en el capítulo 3 se presentan unos resultados sobre la homotopía entre gráficas, así como invariancia homotópica en gráficas que tienen la propiedad de ser clan-Helly. Uno de los resultados principales de la tesis se encuentra en el capítulo 4. En un artículo que publicó en el 2022 el Dr. Rafael Villarroel, director de esta tesis, se mostró que una gráfica G conexa de grado máximo menor o igual a cuatro (es decir, cada vértice en la gráfica tiene a lo más cuatro vecinos) es convergente, y se realizó mostrando que K^2(G) tiene la propiedad de ser clan-Helly, lo cual implica que K^2(G) es convergente y por lo tanto G también. Luego, nosotros logramos demostrar que G, K(G) y K^2(G) son homotópicas, lo cual junto con el resultado probado en el mencionada artículo, se muestra que G es K-homotópicamente permanente. Y más aún, se logró demostrar que G tiene el tipo de homotopía una cuña de circunferencias, con una única excepción, que es el octaedro. De esta forma nos preguntamos entonces que pasaba con las gráficas conexas de grado máximo menor o igual a cinco. Y finalmente en el capítulo 5 demostramos que G tiene el tipo de homotopía de una cuña de esferas S^2 y circunferencia S^1. Esto último se mostró haciendo uso de resultados de complejos CW. |
| Documento del Gobiberno : | MMAT .15238 2023 |
| URI : | http://dgsa.uaeh.edu.mx:8080/bibliotecadigital/handle/231104/4426 |
| Aparece en las colecciones: | Tesis de Maestría |
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| Fichero | Descripción | Tamaño | Formato | |
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